Minthogy azonban a jó és a szép különbözők (mert az előbbi mindig a cselekvésben van, míg a szép a mozgásnélküli dolgokban is), azok, akik azt állítják, hogy a matematikai tudományok semmit sem mondanak a szépről vagy a jóról, tévednek. Mert ezek a tudományok állítják és bizonyítják leginkább azokat; ha nem is nevezik meg őket, műveiket és meghatározásaikat bizonyítják, akkor pedig nem áll, hogy semmit sem mondanak róluk. A szép legfőbb fajtái a rend, az összemérhetőség és az elhatároltság, amiket a matematikai tudományok bizonyítanak leginkább. És mivel ezek (gondolok itt a rendre és az elhatároltságra) sok dolog okainak látszanak, nyilvánvaló, hogy a matematikai tudományok az olyan okról is fognak beszélni, ahogy bizonyos módon ok a szép. Behatóbban más helyen fogunk még ezekről szólni. (Arisztotelész: Metafizika)
xxx
Emlékezetem tartalmazza még a számok és a kiterjedések fogalmait és rengeteg szabályát. Ezek egyikét sem testi érzékeim tuszkolták beléje. Hiszen színük, hangjuk, szaguk, ízük nincsen és nem is tapinthatók. Hallottam ugyan az e fogalmakat jelző hangos szavakat, midőn beszéltünk róluk, de más a kiterjedés és a szám fogalma. A szavak másképpen csendülnek görögül, másképpen latinul, a fogalmak azonban sem nem görögök, sem nem latinok, sem nem tartoznak semmiféle nyelvhez. Láttam mérnökök vonalait, igen vékonyakat is, akárcsak a pókhálók fonala, de mások ezek, nem a fogalmak testi szemmel nekem közvetített képei. Ismeri bárki e fogalmakat, aki egyszer bévülről ismert rájuk, anélkül, hogy testi érzékekre akár csak gondolt volna. Fölfogom minden testi érzékemmel a számolás számait, de mások ezek a számok, mint maguk a fogalmak, melyekkel számolunk, még csak nem is képeik. Önmagukban léteznek ezek. Nevessen csak állításomon, ha valaki mindezt nem érti, én pedig sajnálom a rajtam nevetőt. (Szent Ágoston: Vallomások)
xxx
A mathesis, Uraim, minden vallásba, minden országba, minden rend és gondolkodás formájába egy. Láttál-é olly ostoba babonást vagy olly vakmerő eretneket, aki valamelly ágazatját tagadta volna? Tudsz-é olly különböző rendtartású országot, mellyben a mathesis igazságairól ártikulusokat hoztak vólna, és vagy egy, vagy más cikkelye változást vagy tilalmat szenvedett vólna? Se klima, se temperamentum, sem társalkodás, sem nevelés, sem praeiudicium nem fonhat olly látást változtató ködöt ennek mindenfelé kiderűlt egén, mint amilyennel barnúl a vallásnak, a bőlcselkedésnek és a törvényezésnek, néha vékony homállyal, néha feketés felhőkkel borongó horizontja. Ezért megérdemli ő a tiszteletet, minden bizonytalanságot, visszálkodást és tilalmazott elmélkedést kerűlni óhajtó lélektől. Ezért lettem én is az ő felemelt gondolkodású híveinek, az értelem rendes nyomain, követője. (Csokonai Vitéz Mihály)
xxx
Ha a matematikustól megkérdezik, hogy mi az ő vizsgálódásának tárgya, sokkal nehezebb helyzetben van, mint bárki más. És még kényesebb helyzetbe kerül, ha több-kevesebb erőfeszítéssel már valamennyire sikerült megmagyaráznia munkájának anyagát. Mert azonnal ott van a második kérdés: mire való erőlködése, mi a célja, mi a haszna. Csak nagyon kevesen értik meg, hogy tevékenysége több egyszerű szellemi tornánál, több mint a sakkozó szórakozása. A többiek előtt hivatkozhatnék a matematikus a fizikusra, a mérnökre, hogy tanúskodjanak munkájának fontossága mellett. De ez a hivatkozás nem őszinte meggyőződéséből fakadna. Mert ritkán ösztönzi őt munkájára a fizikusnak vagy a mérnöknek közvetlen szükséglete. Ő nem várja be a szükséglet parancsát, hanem saját invenciójától kapja utasításait problémáinak megválasztására. És „ha a matematikusok nem művelnék tudományukat magáért a tudományért, nem alkották volna meg azt a matematikai apparátust, amely nélkül a szükség idején a fizikus fegyvertelen volna” (H. Poincaré: Science et Méthode.).
xxx
A tiszta matematika csupa ilyen értelmű állításból áll: „ha ez és ez a kijelentés igaz valamely tetszőleges dologra, akkor ez és ez a másik kijelentés szintén igaz erre a bizonyos dologra.” ... Lényeges, hogy sem azt nem vizsgáljuk, hogy valóban igaz-e az első kijelentés, sem pedig azt nem mondjuk ki, mi az a tetszőleges dolog, amelyre a feltételezések szerint a kijelentés igaz. Mindkét szempont az alkalmazott matematikához tartozna. ... Ezek a következtetési szabályok teszik ki a formális logika alapelveinek döntő részét. Majd vesszük bármelyik hipotézist, amelyik csak szórakoztatónak tűnik nekünk, és dedukáljuk a következményeit. Ha hipotézisünk bármire, és nem ezekre vagy azokra a külső dolgokra vonatkozik, akkor dedukciónk a matematikához tartozik. A matematikát tehát úgy határozhatjuk meg, mint azt a tárgyat, amelyben sem azt nem tudjuk, miről beszélünk, sem pedig azt, hogy igaz-e, amit mondunk. Azok, akiket a matematika kezdettől fogva zavarba ejtett, remélem, vigaszt lelnek e definícióban, és valószínűleg elismerik, hogy szabatos. (Bishop, Ernest: A Constructivist Manifesto)
