Egy szám, ami körbeér

Az egyik legismertebb matematikában is használatos betű a π, azaz a pi. Már az általános iskolában találkozunk vele, hiszen olyan alapvető műveleteknél van rá szükség, mint a kör kerületének és területének a kiszámítása, de a pi nem áll meg itt. Fontos szerephez jut a gömbbel, a hengerrel és a kúppal való számolásban is, majd alapvető kelléke lesz a trigonometriának, és meg sem áll a komplex exponenciálisokig meg a hullámjelenségek leírásáig. Na de mit is jelent ez a görög betű, miért olyan fontos nekünk, és mihez kezdenénk nélküle? Március 14-e, a nemzetközi pi-nap alkalmából ennek jártunk utána.

 Valahogy elterjedt a nézet, hogy a matematikához csak a kiválasztottak értenek, ami nem is baj, merthogy a mindennapi életben úgysem vesszük hasznát ezeknek a dolgoknak. Ez az állítás persze több sebből is vérzik. Először is azért, mert a matematikai képességek éppen úgy fejleszthetők, mint bármi más: ha sok gyakorlással meg tudunk tanulni rajzolni, szavalni vagy megszerelni az elromlott porszívót, akkor ugyanez az energiabefektetés a matektanulás terén is megtérülhetne. Ennél viszont fontosabb, hogy igenis van haszna a matematikának a mindennapi életben, például a pinek is. Hiszen hogyan másképp számolnánk ki, milyen hosszú madzagra lesz szükségünk egy kör alakú kiskert körbekerítéséhez? Vagy hogy hány liter víz fér bele egy hordóba?

A görbe és az egyenes nem viszonyítható egymáshoz a pi nélkül, és a pi mindenhol megjelenik, ahol körökkel, hullámokkal vagy forgással van dolgunk. A kvantumfizikában a részecskéket leíró hullámfüggvények elképzelhetetlenek pi nélkül. Hasonló a helyzet a csillagászatban is, ahol a bolygók és a műholdak keringését leíró számításokban pi nélkül nem lehetne pontos eredményt kapni. A statisztikában a pi segít az adatok normáleloszlásának kiszámításában, és fontos szerephez jut a jelfeldolgozásban is, hiszen sok jel periodikus vagy hullámszerű. A pi a ballisztikában is kulcsszerepet kap, hiszen a lövedékek forgása és pályája sem számítható ki nélküle.

A pi tehát nem csak egy egyszerű szám a tankönyvekben. Mindenhol jelen van, ahol körökkel, gömbökkel, forgó testekkel vagy hullámokkal van dolgunk. A segítségével pontosan kiszámítható a kerületek, a területek és a térfogatok nagysága, a műholdak keringési ideje, a részecskék hullámtermészete, a jelek frekvenciái és még nagyon sok minden, ami megkönnyíti számunkra a mindennapi életet és az univerzum megismerését. Bárhonnan is nézzük, a pi nélkül a világunk sokkal kaotikusabb és kiszámíthatatlanabb lenne.

Sosem ér véget

A pi nem más, mint a kör kerületének és átmérőjének aránya. Irracionális szám, vagyis nem írhatjuk föl két egész szám hányadosaként. Ebből az is következik, hogy vagy a kör kerülete vagy pedig annak átmérője nem mérhető pontosan: bármelyikhez is választunk mértéket, a másik mindig csak közelítőleg adható meg.

Az iskolában tanultak szerint a pi értéke 3,14 (éppen ezért ünnepeljük a pi-napot is a 3. hónap 14. napján), de a szám irracionális volta azt is jelenti, hogy a tizedesjegyei a végtelenségig követik egymást, sosem fogynak el, és periodikusan ismétlődni sem fognak. Továbbgondolva: a végtelenségig tartó pi olyan hosszú, hogy minden lehetséges számsor szerepel benne valahol. Például a saját telefon- vagy személyi számunk is. Hat egymást követő kilencessel például viszonylag hamar, már a 762. és a 767. tizedesjegyek között találkozhatunk (ezt nevezzük Feynman-pontnak). Az angio.net/pi honlapon magunk is utánanézhetünk annak, hogy egy tetszőleges számsor előbukkan-e (és ha igen, hol) a pi első 200 millió számjegye között.

A pi története az ókorba nyúlik vissza. Akkoriban még nem így hívták, de azzal a problémával már az ókori matematikusok is szembesültek, hogy a kör területét nem lehet olyan könnyedén kiszámolni, mint például egy négyzetét. Már mintegy 4000 évvel ezelőttről maradtak fenn írásos emlékek arról, hogy hogyan számolják ki például egy kör alapú csűr területét. A babilóniaiak egy időszámításunk előtt 1900–1600-ra datált agyagtábla szerint a 25/8-ra becsülték a pi értékét, míg a nagyjából ugyanebből az időből, de Egyiptomból fennmaradó Rhind-papiruszon a 16/9 négyzetével számoltak.

Aki még emlékszik a középiskolai tanulmányaira, esetleg máig jó viszonyt ápol a matematikával, az könnyen kitalálhatja, mi lehet az alapvető probléma ezekkel a közelítő értékekkel. A pi nem írható föl két egész szám hányadosaként, ha mégis megpróbáljuk, legföljebb közelítő értékeket kapunk, akárcsak az ókori babilóniaiak vagy egyiptomiak. Ugyanebbe a problémába ütközött Arkhimédész is, aki az időszámításunk előtti harmadik században igyekezett megoldani a kör átmérőjének és területének összefüggését. Ő sokszögeket írt a körbe és a kör köré. Abból indult ki, hogy minél több oldala van ezeknek az alakzatoknak, a területük annál inkább megközelíti magának a körnek a területét: az egyik alulról, a másik fölülről. Amikor már 96 oldalú sokszögekkel számolt, azt az eredményt kapta, hogy a pi értéke valahol 223/71 és 22/7 között van. Ez már elég pontos közelítés volt, olyannyira, hogy a 22/7-et ma is sokan szeretik használni a számolás megkönnyítése végett.

Az ókori egy-két tizedesjegynyi pontosságot a 17. és a 18. század fordulója körül már jócskán sikerült meghaladni, hiszen ekkor már mintegy 100 számjegyét ismerték a pinek. Ez annak köszönhető, hogy eddigre már kidolgozták a végtelen sorok elméletét. A végtelen sor azt jelenti, hogy a végtelenségig adogatunk össze bizonyos számokat, és megnézzük, mi lesz az összegük. Ha például sorban összeadjuk a természetes számokat (1+2+3+...), akkor az eredmény végtelen lesz. De olyan sorok is léteznek, ahol a számok összege nem végtelen lesz, hanem egy konkrét szám felé halad, de azt sosem éri el. Például az 1/2+1/4+1/8... végtelen sor összege 1. Hogy ez a pi szempontjából miért lényeges? Azért, mert több olyan sor is fölírható, ami a pi felé konvergál, így a segítségükkel egészen sok tizedesjegyig megismerhetjük a pi értékét.

Ma pedig, a számítógépek korában, a határ a csillagos ég. Minthogy már nem korlátozódnak az eszközeink a papírra és a ceruzára, a pi első 300 billió számjegyével is számolhatnánk, de a mindennapi életben az iskolában tanult 3,14-nél nincs szükségünk pontosabb közelítésre, sőt a mérnöki és a tudományos világ is megelégszik néhány tizedesjeggyel (még a NASA sem kalkulál 15-16 tizedesjegynél többel).

Matekból művészet

A matematika és a művészet találkozása mindig izgalmas területekre vezet minket. A pi egyik legszebb képzőművészeti ábrázolása Martin Krzywinski lengyel-kanadai adatvizualizációs szakértő nevéhez kötődik, aki az egyes számjegyeket más-más színű pontokkal jelenítette meg, majd ezeket a pontokat sorba rendezte. Egy másik ábrázolásán a körbe rendezett és színekkel jelölt számjegyek között vonalakat húzva mutatja meg a pi teljesen véletlenszerű voltát. Érdemes megnézni Stewart Kenneth Moore skót művész alkotásait is, aki a pi első 2500 számjegyét festette meg úgy, hogy minden szám saját árnyalatot kapott. Ne menjünk el a szobrászművészet mellett sem: a szicíliai Pi-szobrot Arkhimédész városában, Siracusában emelték a város gazdag tudományos múltjának tiszteletére. A több mint három méter magas szobor Pietro Archese művész és Virginia Rossello építész közös alkotása, és 2016-ban leplezték le.

A képzőművészet mellett a pi a zenében is helyet kapott. Több dalocskát is komponáltak már annak érdekében, hogy segítsen megjegyezni az első 100 vagy akár 300 számjegyet, de ennél kellemesebb zenei élményre is bukkanhatunk keresgélés közben. David Macdonald amerikai zongorista a pi első ötven számjegyét alakította át hangjegyekké, hogy hallhatóvá tegye a matematikát, Ken Ferrier és Antoni Chan a pi felfedezését és jelentőségét énekelte meg, Kate Bush angol énekes-zenész (akinek a zenéje a Stranger Things negyedik évadából sokak számára ismerős lehet) pedig Pi címmel írt dalt egy férfiról, aki megszállottan számolgatja az újabb és újabb számjegyeket.

A pit szerencsére a nyelvi játékok között sem kell nélkülöznünk. Vannak versek, amelyekben a szavak betűinek száma megegyezik a pi soron következő számjegyeivel, ezeket pi-verseknek is nevezzük. Magyarul Szász Pál matematikus írta az egyik legismertebb pi-verset, Pothurszky Géza pedig a leghosszabbat, ami a pi első 150 számjegyét tartalmazza. Pi élete címmel egy fantasy kalandregényt is olvashatunk, az igazán elhivatottak pedig olyan könyvet is beszerezhetnek, ami több száz oldalon át semmi mást nem tartalmaz, mint a pi számjegyeit.

Egy forgalmas bécsi aluljáróban nagyszabású művészeti installáció díszeleg. Ken Lum kanadai művész multimédiás installációja a Pi nevet viseli, és a szám első 478 számjegyét tartalmazza, körülötte pedig 16 monitor jelenít meg valós idejű statisztikai adatokat, köztük globális léptékűeket és helyi jellegzetességekről szólókat is. A projekt célja, hogy a tudományos adatok és az építészeti megoldások összevonásának segítségével egy közlekedési csomópontból egy szociológiai reflexióra alkalmas közösségi tér váljon.

Persze nem mindenki művészi beállítottságú. Aki a testmozgást részesíti előnyben, annak sem kell csüggednie: Érden szervezték meg a Pi-futás elnevezésű rendezvényt, ahol a felnőttek 3,14 km-t, a gyerekek pedig 314 métert futnak, az adományként gyűjtött nevezési díj ajánlott összege pedig 3140 forint. Boldog pi-napot!